Théorie des nombres et algèbre au XIXe siècle : analogies, transferts, représentations

Responsable du programme : Jenny Boucard

Participant·e·s : Anne Boyé, Jenny Boucard.

Dans le cas de la théorie des nombres, le processus de disciplinarisation a lieu à partir de la fin du XIXe siècle et les catégories utilisées aujourd'hui ne sont donc pas pertinentes pour appréhender les travaux arithmétiques antérieurs. Pour restituer certaines dynamiques et pratiques arithmétiques du XIXe siècle, il apparaît donc important de considérer à la fois l'organisation humaine et matérielle de la recherche, ainsi que les différentes représentations disciplinaires mobilisées par les acteurs eux-mêmes, sans nous appuyer sur des objets ou catégories apparus a posteriori.

Ici, nous nous attachons à nous placer dans des contextes variés afin d'apporter des éclairages complémentaires sur l'histoire de la théorie des nombres : nous indiquons ci-dessous trois axes de réflexions en cours sur cette thématique. Cela nous amènera également à réfléchir plus généralement sur les conditions de circulation des savoirs mathématiques à l’époque contemporaine ainsi que sur les différentes représentations du concept de nombre dans différentes communautés (académiques, enseignantes ou populaires par exemple).

 

Théorie des nombres et journaux mathématiques en France eu XIXe siècle : le cas de la presse intermédiaire et du vulgarisation

Dans le cadre d’un travail sur les journaux mathématiques, et tout particulièrement ceux destinés à des enseignants, étudiants et amateurs, la théorie des nombres représente un cas intéressant pour plusieurs raisons. Tout d’abord, au XIXe siècle, la théorie des nombres a une position relativement marginale dans les publications mathématiques. Dans une certaine mesure, cette marginalité permet de construire des études systématiques car les corpus obtenus sont de taille raisonnable. Ensuite, la théorie des nombres a une place encore plus réduite dans les programmes d’enseignement en France. Enfin, si la théorie des nombres est alors quasi-absente des curricula, la frontière entre ce domaine et l’algèbre est souvent floue. De plus, les énoncés de théorie des nombres peuvent être élémentaires et donc compris par des acteurs ayant une culture mathématique limitée. Certains peuvent également être présentés sous la forme de récréations mathématiques, qui font l’objet d’ouvrages et sont régulièrement intégrées dans la presse quotidienne dans le second XIXe siècle notamment. Ce travail a bénéficié des discussions et réunions de travail organisées dans le cadre du projet Cirmath. Deux périodiques font dans ce cadre l’objet d’études systématiques :

•  Les Nouvelles annales de mathématiques, Journal des candidats aux écoles polytechnique et normale (1842-1914). Ce périodique, fondé par Olry Terquem et Camille Gerono en 1842, vise un public que l'on peut qualifier d'intermédiaire, notamment constitué d'étudiants, d'enseignants, d'ingénieurs. L’objectif est ici de caractériser les différents aspects de la théorie des nombres traités dans ce journal ainsi que le statut des différents auteurs impliqués dans la diffusion de ce domaine qui ne figure pourtant pas officiellement aux programmes des concours des écoles polytechnique et normale.
• Sphinx-Œdipe, Journal de la curiosité et du concours. En 1906 paraît le premier numéro de Sphinx-Œdipe, Journal de la Curiosité et de Concours, « nouvelle revue en partie mathématique, et pour le reste, traitant de la curiosité en général ». La partie mathématique est alors dirigée par André Gérardin (1879-1953), qui devient rapidement le directeur du journal. Bachelier ès sciences et ancien étudiant de la faculté des sciences de Nancy, Gérardin est connu au début du XXe siècle pour avoir publié plusieurs articles dans des revues intermédiaires. Il a également présenté des communications aux congrès de l’Association française pour l’avancement des sciences et à plusieurs congrès internationaux des mathématiciens. Cependant, mis à part le baccalauréat, Gérardin n’est pas diplômé des institutions classiques de l’époque et ne vit pas d’une activité mathématique et, à ce titre, est singulier par rapport aux autres rédacteurs de journaux mathématiques. Si en 1906, Sphinx-Œdipe aborde des thèmes très divers (mode, sports, magie et sciences occultes, mathématiques), son contenu devient exclusivement mathématique en 1908, centré sur la théorie des nombres et les récréations mathématiques. Cela induit des transformations importantes de l’organisation du journal et des publics ciblés. Ainsi, ce journal et son rédacteur font figures d’exception. Gérardin peut en effet être considéré comme un amateur en deux sens distincts : non professionnel des mathématiques, il consacre également la majeure partie de sa vie à collecter et éditer des écrits mathématiques. Sphinx-Œdipe est un journal mathématique provincial, porté par un amateur qui en est l’auteur de plus prolifique et y favorise la publication de ses thématiques de prédilection. Ce journal est de plus spécialisé dans le sens où il est centré sur la théorie des nombres. Sphinx-Œdipe a donc une position doublement originale dans le paysage éditorial. Pour toutes ces raisons, il connaît une diffusion très limitée mais est tout de même publié pendant une vingtaine d’années de manière plus ou moins régulière. Ici, le journal Sphinx-Œdipe et l’activité du rédacteur Gérardin seront analysés sous l’angle des circulations mathématiques et des publics associés dans le premier tiers du XXe siècle.

 

Des géomètres « à la marge » pour la théorie des nombres ? Les cas de Sophie Germain (1776-1831) et de  Victor-Amédée Lebesgue (1791-1875)

• Sophie Germain (1776-1831) constitue un exemple emblématique de femme ayant produit des mathématiques dans le premier tiers du XIXe siècle. Autodidacte, elle est reconnue pour ses travaux en théorie de l’élasticité et en théorie des nombres. Ici, l’objectif est d’étudier les relations de Germain avec les différents lieux de savoirs et les géomètres de son temps, ainsi que ses pratiques mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres, en les comparant à d’autres publications arithmétiques contemporaines. Cela permettra de questionner les spécificités de ses travaux et de leur réception, du point de vue de son genre, de sa formation ou encore de sa position sociale. Cette étude sera complétée par une analyse d’un point de vue social et culturel, des réceptions des travaux arithmétiques et du personnage de Germain sous la Troisième République.
•  Victor-Amédée Lebesgue est un mathématicien français pour qui la théorie des nombres constitue le thème principal de ses publications. Malgré sa position institutionnelle marginale, il participe remarquablement à la diffusion de certaines recherches arithmétiques, notamment celles publiées par des géomètres allemands, produit des résultats originaux et mobilise des réseaux savants variés. À partir d’archives, extraits de correspondances et publications mathématiques, l’objectif est ici de comprendre les rôles de Lebesgue dans la circulation de la théorie des nombres en France dans les années 1840 et 1850.

 

 Théorie des nombres et nombres imaginaires au XIXe siècle

        L'objectif est ici l'analyse épistémologique et historique des pratiques en lien avec les nombres complexes en théorie des nombres qui permettrait d'apporter des éclairages nouveaux à la fois sur les nombres complexes et la théorie des nombres, sur les représentations des nombres complexes chez divers auteurs, sur la circulation ou l'inertie des méthodes en jeu, mais aussi sur les procédures de justification, de mise en oeuvre de certains transferts, sur l'utilisation des analogies au sein des mathématiques et au-delà. Plus généralement, des réflexions sur le concept de nombre et sur l’usage des quantités imaginaires aux XVIIIe et XIXe siècles seront développées.

• Cas d’études envisagés : les nombres de Bernoulli de Cauchy à Kummer ; les travaux sur les entiers complexes au XIXe siècle ; réflexions sur les nombres dans différents domaines mathématiques au XIXe siècle

 

Publications en cours

• Boucard Jenny, « Habiter les marges mathématiques : André Gérardin et Sphinx-Œdipe à Nancy (1906-1928) », Prévu pour parution en 2021 dans l'ouvrage collectif Circulation des mathématiques dans et par les journaux: histoire, territoires, publics (ISTE Éditions), dirigé par Hélène Gispert, Philippe Nabonnand et Jeanne Peiffer.

Publications récentes :

• Boucard Jenny (2020), « Number Theory in the Nouvelles annales de mathématiques (1842-1927): A Case Study About Mathematical Journals for Teachers and Students », Revue d’histoire des mathématiques, vol. 26, n° 1, p. 3‑72. Disponible en ligne
• Boucard Jenny (2020),  « Arithmetic and Memorial Practices by and around Sophie Germain in the 19th Century » dans Eva Kaufholz-Soldat & Nicola Oswald (éds.), Against all odds. Women in Mathematics (Europe, 19th and 20th century), Springer Verlag, p. 185-230. Version preprint disponible sur Hal
• Boucard, Jenny (2017), « Images de combinatoire en France au XIX^e siècle : le cas des Nouvelles annales de mathématiques (1842-1914) », in Barbin, Goldstein, Moyon, Schwer et Vinatier (dir.), Les Travaux combinatoires en France (1870-1914) et leur actualité, Limoges : Presses universitaires de Limoges, p. 69‑93. Disponible sur Hal
• Boucard, Jenny, (2015), « Eugène Charles Catalan et la théorie des nombres », Bulletin de la Société des amis de la bibliothèque de l’Ecole polytechnique, vol. 57, p. 49‑56. Disponible en ligne
• Boucard, Jenny (2015), « Résidus et congruences de 1750 à 1850 : une diversité de pratiques entre algèbre et théorie des nombres », in Gilain et Guilbaud (dir.), Les Sciences mathématiques 1750-1850 : continuités et ruptures, Paris : CNRS Editions, p. 509‑540. Disponible sur Hal
• Boucard, Jenny et Verdier, Norbert. 2015. « Circulations mathématiques et congruences dans les périodiques de la première moitié du XIXe siècle », Philosophia Scientiae, vol. 19, n° 2, p. 57‑78. Disponible en ligne